出國留學網(wǎng)專題頻道均值不等式欄目，提供與均值不等式相關(guān)的所有資訊，希望我們所做的能讓您感到滿意！
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均值不等式是數(shù)學中一個很重要的知識點，讓我們一起來了解一下吧。下面是由出國留學網(wǎng)編輯為大家整理的“均值不等式和基本不等式的區(qū)別有哪些”，僅供參考，歡迎大家閱讀本文。
均值不等式和基本不等式的區(qū)別
區(qū)別如下:
1、基本不等式。和定積最大：當a+b=S時,ab≤S^2/4(a=b取等)，積定和最?。寒攁b=P時,a+b≥2√P(a=b取等)。
2、均值不等式：如果a,b 都為正數(shù)，那么√(( a^2+b^2)/2)≥(a+b)/2 ≥√ab≥2/(1/a+1/b)(當且僅當a=b時等號成立.) 。( 其中√(( a^2+b^2)/2)叫正數(shù)a，b的平方平均數(shù)也叫正數(shù)a，b的加權(quán)平均數(shù);(a+b)/2叫正數(shù)a,b的算數(shù)平均數(shù);√ab正數(shù)a,b的幾何平均數(shù);2/(1/a+1/b)叫正數(shù)a,b的調(diào)和平均數(shù)) 。
均值不等式公式
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從初中開始就已經(jīng)學習了簡單的不等式，到高中深入學習，又有了均值不等式，下面是由出國留學網(wǎng)編輯為大家整理的“高中四個均值不等式推導過程詳解”，僅供參考，歡迎大家閱讀本文。
高中四個均值不等式推導過程詳解
四個均值不等式
1、調(diào)和平均數(shù)：Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)
2、幾何平均數(shù)：Gn=(a1a2...an)^(1/n)
3、算術(shù)平均數(shù)：An=(a1+a2+...+an)/n
4、平方平均數(shù)：Qn=√ (a1^2+a2^2+...+an^2)/n
這四種平均數(shù)滿足Hn≤Gn≤An≤Qn 的式子即為均值不等式。
均值不等式用數(shù)學歸納法的證明
第一步：等價變換，分子增加又減去同一項，巧妙處是這一項指數(shù)的選取，正好是要證明的右端。
第二步：(1)把前面(a1+a2+...+ak)用上面假設(shè)n=k成立時較小的右端乘k代替，(a1+a2+...+ak)/k≥(a1a2...ak)^(1/k),兩邊乘k：
a1+a2+...+ak≥k(a1a2...ak)^(1/k),
因此≥成立。
(2)難點是a(k+1)+(k-1)(a1a2...a(k+1))^(1/(k+1))≥k[a(k+1)(a1a2...a(k+1))^[(k-1)/(k+1)]]^(1/k)
其實也很好證明(k-1)(a1a2...a(k+1))^(1/(k+1)，看成是k-1個數(shù)，加上a(k+1)，也是k個數(shù)。
根據(jù)上面假設(shè)，n=k時，(a1+a2+...+ak)/k≥(a1a2...ak)^(1/k)是成立的，
注意!!!a1，a2，...，ak只是正數(shù)的代表，不限于什么正數(shù)，換成k個數(shù)：a(k+1)，和k-1個(a1a2...a(k+1))^(1/(k+1)，這個不等式也是成立的!代換一下，就成了：
a(k+1)+(k-1)(a1a2...a(k+1))^(1/(k+1))≥k[a(k+1)(a1a2...a(k+1))^[(k-1)/(k+1)]]^(1/k)
第三步：
前面兩項提取k之后成為：
(a1a2...ak)^(1/k)+[a(k+1)(a1a2...a(k+1))^[(k-1)/(k+1)]]^(1/k)
使用前面一開始證明的n=2時的結(jié)果，a1+a2≥2√(a1a2)(當成公式，不是當成數(shù))
(a1a2...ak)^(1/k)+[a(k+1)(a1a2...a(k+1))^[(k-1)/(k+1)]]^(1/k)
≥2{(a1a2...ak)^(1/k)[a(k+1)(a1a2...a(k+1))^[(k-1)/(k+1)]]^(1/k)}^(1/2)
=2{(a1a2...ak)^(1/k)[a(k+1)^(1/k)(a1a2...a(k+1))^[(k-1)/k(k+1)]]}^(1/2)
=2{(a1a2...ak)^(1/k)[a(k+1)^(1/k)(a1a2...a(k+1))^[1/(k+1)-1/k(k+1)]]}^(1/2)
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均值不等式是數(shù)學中的一個重要公式。也是十分常見的一個考點。下面是由出國留學網(wǎng)編輯為大家整理的“均值不等式的推導過程有哪些”，僅供參考，歡迎大家閱讀本文。
公式內(nèi)容為Hn≤Gn≤An≤Qn，即調(diào)和平均數(shù)不超過幾何平均數(shù)，幾何平均數(shù)不超過算術(shù)平均數(shù)，算術(shù)平均數(shù)不超過平方平均數(shù)。
1、調(diào)和平均數(shù)：Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)
2、幾何平均數(shù)：Gn=(a1a2...an)^(1/n)
3、算術(shù)平均數(shù)：An=(a1+a2+...+an)/n
4、平方平均數(shù)：Qn=√ (a1^2+a2^2+...+an^2)/n
這四種平均數(shù)滿足Hn≤Gn≤An≤Qn 的式子即為均值不等式。
推導過程
關(guān)于均值不等式的證明方法有很多，數(shù)學歸納法(第一數(shù)學歸納法或反向歸納法)、拉格朗日乘數(shù)法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等，都可以證明均值不等式，在這里簡要介紹數(shù)學歸納法的證明方法：
(注：在此證明的，是對n維形式的均值不等式的證明方法。)
用數(shù)學歸納法證明，需要一個輔助結(jié)論。
引理：設(shè)A≥0，B≥0，則，且僅當B=0時取等號。
注：引理的正確性較明顯，條件A≥0，B≥0可以弱化為A≥0，A+B≥0，有興趣的同學可以想想如何證明(用數(shù)學歸納法)(或用二項展開公式更為簡便)。
原題等價于：
當且僅當
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均值不等式作為?？碱}型之一，備考好此知識點非常重要，下面由出國留學網(wǎng)小編為你準備了“公務(wù)員行測數(shù)量關(guān)系備考：均值不等式”，僅供參考，持續(xù)關(guān)注本站將可以持續(xù)獲取更多的內(nèi)容資訊！
在每年的各類考試中，極值問題都是?？嫉囊活愵}目，極值問題其實是非常簡單的一類題目，只要掌握基本公式和結(jié)論。就能快速解題，下面小編就來帶大家了解極值問題當中的一類問題—均值不等式。
什么是均值不等式
定理1：若a、b是實數(shù)，則 
，等號當且僅當a=b時取得。推論1：若a、b是正實數(shù)， 
，等號當且僅當a=b時取得。定理2：若a、b、c是正實數(shù)，則 
，等號當且僅當a=b=c時取得。推論2：若a、b、c是正實數(shù)，則 
，等號當且僅當a=b=c時取得。
均值不等式的應(yīng)用
?。?） 和一定，求積的最大值。
例1：3個自然數(shù)之和為14，它們的乘積的最大值是多少？
A.42 B.84 C.100 D.120
【答案】C。解析：三個數(shù)的和一定，要想使積最大，則需要使這幾個數(shù)盡量接近，取5、5、4，所以積最大為100。C選項正確。
?。?） 積一定，求和的最小值。
例2：若兩個自然數(shù)的積為100，則這兩個自然數(shù)和的最小值為多少？
A.10 B.20 C.30 D.40
【答案】B。根據(jù)
，可得這兩個自然數(shù)的和
。所以，這兩個自然數(shù)和的最小值為20。B選項正確。
例3：用18米...
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做了許多行測模擬題還是沒有有效的提升自己的分數(shù)？那是你沒有掌握一些技巧和重點，下面由出國留學網(wǎng)小編為你精心準備了“行測數(shù)量關(guān)系技巧：均值不等式巧解極值問題”，持續(xù)關(guān)注本站將可以持續(xù)獲取更多的考試資訊！
行測數(shù)量關(guān)系技巧：均值不等式巧解極值問題
極值問題在行測數(shù)學運算中被考察的幾率很大，這類題目的解答方法比較多，對這類知識的考查也有可能會成為近幾年的重點。下面就講解一下均值不等式解極值問題的應(yīng)用。
一、什么是均值不等式
二、均值不等式的應(yīng)用
1、和一定，求積最大。
由上述推論可知，當正實數(shù)a、b的和為定值時，a與b的乘積可取到最大值，當且僅當a=b時取到。
【試題再現(xiàn)】某苗木公司準備出售一批苗木，如果每株以4元出售，可賣出20萬株，若苗木單價每提高0.4元，就會少賣10000株。問在最佳定價的情況下，該公司最大收入是多少萬元?
A.60 B.80 C.90 D.100
【答案】C。解析：總收入=售價×銷量。設(shè)最佳定價在4元每株的基礎(chǔ)上提高0.4x元，則銷量會在20萬株的基礎(chǔ)上少賣x萬株故。收入=(4+0.4x)×(20-x)=0.4(10+x)×(20-x)。求收入的最大值，即求(10+x)×(20-x)的最大值。因為(10+x)+(20-x)=30，即(10+x)與(20-x)的和一定，當且僅當10+x=20-x，x=5時，(10+x)×(20-x)取到最大值(10+5)×(20-5)=225，故公司最大收入為0.4×225=90萬元，選C。
2、積一定，求和最小。
由上述推論可知，當正實數(shù)a、b的乘積為定值時，a與b的和可取到最小值，當且僅當a=b時取到。
【試題再現(xiàn)】某村民要在屋頂建造一個長方體無蓋貯水池，如果池底每平方米的造價為150元，池壁每平方米的造價為120元，那么要造一個深為3米容積為48立方米的無蓋貯水池最低造價是多少元?
A.6460 B.7200 C.8160 D.9600
【答案】C。解析：水池造價=池地造價+池壁造價。水池深3米、容積48米，設(shè)長和寬分別為a、b，有底面積ab=48÷3=16平方米，池壁面積為2×(3a+3b)。因此水池造價為：16×150+2×(3a+3b)×120=2400+720×(a+b)。要求水池最低造價，即求a+b的最小值。a、b積一定為16，和a+b可取得最小值，且a=b=4時取到。因此，最低造價為2400+720×(4+4)=2400+5760=8160元，選C。
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任何一場考試取得成功都離不開每日點點滴滴的積累，下面由出國留學網(wǎng)小編為你精心準備了“行測數(shù)量關(guān)系：均值不等式求極值”，持續(xù)關(guān)注本站將可以持續(xù)獲取更多的考試資訊！
行測數(shù)量關(guān)系：均值不等式求極值
在行測數(shù)量關(guān)系中常見的極值問題里，有一類是一元二次函數(shù)求最值，相信大家都是能夠根據(jù)題意列出式子，難點就在于解這個式子，常規(guī)的就是采用高中所學的求根公式來進行解答，這個過程就會顯得慢而且計算量偏大，所以今天就給大家介紹運用均值不等式來進行求解。
一、什么是極值問題
極值問題顧名思義，就是求極大值和極小值的問題，就是當題干或者問法中出現(xiàn)最大或最小，最多或最少，至多或至少等字眼時，那就是極值問題。
二、均值不等式
1. 什么是均值不等式
2. 均值不等式的應(yīng)用
三、經(jīng)典例題
【例題1】 某汽車坐墊加工廠生產(chǎn)一種汽車座墊，每套成本是144元，售價是200元。一個經(jīng)銷商訂購了120套這種汽車座墊，并提出：如果每套座墊的售價每降低2元，就多訂購6套。按經(jīng)銷商的要求，該加工廠獲得最大利潤需售出的套數(shù)是（ ?。?/p>
A.144 B.136 C.128 D.142
【解析】A。根據(jù)題目所求為獲得最大利潤需售出的套數(shù)，可知此題屬于極值問題，根據(jù)題意，可設(shè)每套坐墊減價2x元，那么就會多訂購6x套，利潤為y，得：
y =（200-2x-144）x（120+6x），化簡得：y =（56-2x）x（120+6x），要求y最大時的x，可以把（56-2x）看成一個整體a，（120+6x）看成一個整體b，就相當于求ab的最大值，根據(jù)均值不等式推論可知，當兩個數(shù)的和一定，這兩個數(shù)的積最大，所以去找到（56-2x）與（120+6x）的和一定即可，因為x的系數(shù)不同，所以要將x的系數(shù)化為相同兩者之間的和才一定，所以可將（56-2x）提一個2，（120+6x）提一個6出來，讓x的系數(shù)都為1，所以y =（56-2x）x（120+6x）=2 x（28-x）x 6 x（20+x），既原式變?yōu)閥=12（28-x）（20+x），根據(jù)均值不等式和一定積最大，當且僅當（28-x）=（20+x）取等號，所以28-x=20+x得出x=4，既當坐墊降價8元時，能獲得最大利潤，所求獲得最大利潤售出套數(shù)為120+6x4=144，選A。
【例題2】某報刊以每本2元價格發(fā)行，可發(fā)行10萬份，若該報刊單價提高0.2元，發(fā)行量減少5000份，...
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出國留學網(wǎng)高考頻道在考試后及時公布各科高考試題答案和高考作文及試卷專家點評，請廣大考生家長關(guān)注。時光飛逝，暑假過去了，新學期開始了，不管情愿與否，無論準備與否，我們已走進高三，走近我們的夢!祝愿決戰(zhàn)2014高考的新高三學員能倍加努力，在2014年高考中也能取得優(yōu)異的成績。
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