泰勒公式是什么

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　　泰勒公式是什么

　　在數(shù)學(xué)中，泰勒公式是一個用函數(shù)在某點(diǎn)的信息描述其附近取值的公式。如果函數(shù)足夠光滑的話，在已知函數(shù)在某一點(diǎn)的各階導(dǎo)數(shù)值的情況之下，泰勒公式可以用這些導(dǎo)數(shù)值做系數(shù)構(gòu)建一個多項(xiàng)式來近似函數(shù)在這一點(diǎn)的鄰域中的值。泰勒公式還給出了這個多項(xiàng)式和實(shí)際的函數(shù)值之間的偏差。泰勒公式得名于英國數(shù)學(xué)家布魯克·泰勒。他在1712年的一封信里首次敘述了這個公式，盡管1671年詹姆斯·格雷高里已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了它的特例。實(shí)際應(yīng)用中，泰勒公式需要截?cái)?，只取有限?xiàng)，一個函數(shù)的有限項(xiàng)的泰勒級數(shù)叫做泰勒展開式。泰勒公式的余項(xiàng)可以用于估算這種近似的誤差。

　　簡介

　　數(shù)學(xué)中， 泰勒公式是一個用 函數(shù)在某 點(diǎn)的信息描述其附近取值的 公式。如果函數(shù)足夠 光滑的話，在已知函數(shù)在某一點(diǎn)的各階 導(dǎo)數(shù)值的情況之下，泰勒公式可以用這些導(dǎo)數(shù)值的相應(yīng)倍數(shù)作為 系數(shù)構(gòu)建一個 多項(xiàng)式來近似函數(shù)在這一點(diǎn)的 鄰域中的值。帶拉格朗日余項(xiàng)的泰勒公式還給出了這個多項(xiàng)式和實(shí)際的函數(shù)值之間的偏差。泰勒公式得名于 英國數(shù)學(xué)家布魯克·泰勒。他在1712年的一封信里首次敘述了這個公式，盡管1671年詹姆斯·格雷高里已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了它的特例。

　　公式定義

　　泰勒公式(Taylor's formula)

　　形式1:帶Peano余項(xiàng)的Taylor公式：

　　若f(x)在x0處有n階導(dǎo)數(shù)，則存在x0的一個鄰域(x0-δ，x0+δ)內(nèi)任意一點(diǎn)x(δ>0)，成立下式：

　　f(x)=f(x0)+f'(x0)/1!*(x-x0)+f''(x0)/2!*(x-x0)^2+…+f(n) (x0)/n!(x-x0)^n+o((x-x0)^n)

　　f(n)(x)表示f(x)的n階導(dǎo)數(shù)，f(n) (x0)表示f(n)(x)在x0處的取值

　　(可以反復(fù)使用L'Hospital法則來推導(dǎo))

　　形式2：:帶Lagrange余項(xiàng)的Taylor公式：

　　若 函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上有n階連續(xù) 導(dǎo)數(shù)，在(a,b)上有n+1階導(dǎo)數(shù)。任取x0∈[a,b]是一定點(diǎn)，則對任意x∈[a,b]成立下式：

　　f(x)=f(x。)+f'(x。)(x-x。)+f''(x。)/2!*(x-x。)^2,+f'''(x。)/3!*(x-x。)^3+……+f(n)(x。)/n!*(x-x。)^n+Rn(x)，

　　Rn(x)=f(n+1)(ξ)/(n+1)!*(x-x。)^(n+1), ξ在x。和x之間，是依賴于x的量。

　　(注：f(n)(x。)是f(x。)的n階導(dǎo)數(shù)，不是f(n)與x。的相乘。)

　　)

　　函數(shù)的 Maclaurin展開指上面Taylor公式中x0取0的情況，即是Taylor公式的特殊形式，反過來通過平移和換元， Maclaurin展開式和上面的展開式是等價(jià)的。

　　Taylo...